önce M. AKÇA tarafından yazılmıştır. Kesikli Olasılık Dağılımları

Kesikli Olasılık Dağılımları

Kesikli Olasılık Dağılımları rassal bir olayın meydana gelmesindeki olası dağılımı tanımlar. Bir yazı tura atıldığında yazı ve tura gelme ihtimali 1/2 olduğundan; iki farklı ihtimaldeki dağılımlar kesikli dağılım olup arada değer alamazlar. Burada iki olasılık eşittir ve toplamları yüzde yüzdür. Sayılabilir şekilde ayrı olasılıkları bulunan değerler kesikli dağılıma örnek verilir.

arrow

 

Buna mukabil, bir okun bir tahta üzerinde bir noktaya düşme ihtimali sıfırdır. Çünkü geometri kuramına göre noktanın eni ve boyu bulunmamaktadır. Fakat tahta üzerinde her hangi bir alan seçilirse, okun bu aralığa düşme ihtimali hesaplanabilir. Böylece tahta üzerine bölümlenen her bir alan için okun o alana düşme ihtimali tanımlanabilir. Buna ise Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu denir. Olasılık dağılım fonksiyonunun altında kalan alan (yani integral) toplamı 1 e eşittir. Bütün alanlar seçildiğinde okun mutlaka bu alana düşmesi gerekir. Bu fonksiyonda ise bir süreklilik vardır: Hangi alan aralığı seçilirse seçilsin o alana mutlaka bir olasılık dağılımı rast gelecektir.

Olasılık kuramına göre her bir rassal değişkene durum uzayında bir olasılık fonksiyonu bağlanmıştır.

Kesikli Dağılımlar

Bernoulli Dağılımı (Tekli Deney): Bir deneyde sadece başarı ya da başarısızlıkla ilgilenildiğinde bu dağılıma Bernoulli Dağılımı denir. Bu dağılım için yapılan denemelere Bernoulli denemeleri denir. Bernoulli dağılımına uygun bir deneme için, deneyler aynı koşullarda tekrarlanabilir özelliklere sahip olmalıdır. Deneylerin sadece iki mümkün sonucu olması gerekir. Denemeler birbirlerinden bağımsız olmalı ve başarı olasılığı p, başarısızlık olasılığı q olmalıdır. Ayrıca mümkün ihtimallerin toplamı 1 olduğundan p=1-q olmalıdır.

Bir fabrikada üretilen bir ürünün hatalı ya da sağlam olması,

Bir zar atıldığında tek ya da çift gelmesi,

Para atıldığında yazı ya da tura gelmesi

bernoulli_dağılımı

 

Bir desteden bir kağıt çekildiğinde as olma ihtimali  p=4/52  q=48/52 şeklinde olacaktır. Fakat 2 tane seçilmesi durumunda seçimler birbirini etkileyeceği ve seçimler birbirinden bağımsız olmayacağı için bu dağılım çeşidi uygulanamaz.

 

Binom Dağılımı(Çoklu Deney): Birbirinden bağımsız n tane Bernoulli deneyi sonrası Binom dağılımı oluşur. Binom dağılımı da Bernoulli dağılımının bütün koşullarına sahiptir.

binom_dağılım

Bir fabrikada rastgele seçilen 20üründen 4 unun hatalı olma olasılığı (Kesikli ya tek bir değer!)

Bir madeni para 20 defa atıldığında  7 kez yazı gelme olasılığı

gibi durumlarda kullanılabilir.

 

Ürünlerin hatalı çıkma olasılığı %4 diyelim. seçilen 20 farklı üründen 3 tane hatalı çıkma olasılığı şu şekilde hesaplanabilir.

n=20, x=3, p=4 şeklinde işlem yapılabilir.

n sayısı arttıkça kesikli dağılım olduğu için özellikle uç değerler sıfıra yaklaşır.

binom_dağılım_771

 

Örnek değerler Excel üzerinde BİNOM.DAĞILIM fonksiyonu ile hesaplanmıştır.  771 adet para atıldığında 1 tane 10 tane, 100 tane yazı gelme ihtimali 0 a yakın iken 385 tane, ya da 386 tane yazı gelme ihtimali %2,8707 dir. En yüksek değer olan bu değer (771/2=385,5) 385. ve 386 değerlerde ter almaktadır ve bu deneyin beklenen değeridir.

binom_dağılım_771 (2)

1’den 771 3 kadar tüm yazı gelme ihtimallerinin toplamı 1 iken, 771 yazı tura atışında  370 ile 397 arasında yazı gelme olasılığı bu aralığın toplamı şeklindedir.

binom_olasılık_toplam

Burda da görüldüğü gibi 771 para atıldığında 370 ile 397 arasında yazı gelme olasılığı %68,17 olacaktır.

Aynı mantıkla şu soruya da bu şekilde cevap verilir:

Belli bir ameliyatın başarılı sonuçlanması olasılığı %80’dir. Ameliyat edilen 10 hastadan, En az 9’ unun iyileşmesi olasılığı nedir?

Not: Bernoulli Dağılım da Binom dağılım da sadece başarılı ya da başarısızlık durumları ile ilgilenir.

 

Poisson Dağılımı: Poisson dağılımının günlük hayatta bir çok kullanım alanı bulunmaktadır. Bu dağılım ünlü Fransız matematikçi Siméon Denis Poisson tarafından bulunmuştur. Belirli bir zaman içersinde rastgele gelişen olayların tahminlemesinde çok kullanışlı bir yöntemdir.

Bir şehirde belirli bir süre içersinde meydana gelen yangınlar.

Bir çağrı merkezine belirli bir süre içersinde gelen arama sayısı

Belirli bir bölgede belirli bir alan başına düşen insan sayısı

Belirli bir bölgede belirli bir şiddetin üstünde gerçekleşen deprem sayısı

poisson_dagilimi

 

 

 

 

λ: Belirlenen bir periyotta ortaya çıkan olay sayısı

x: Ortaya çıkma olasılığı araştırılan olay sayısı

 

Bir şehirde 7 yılda ortalama 3 deprem olmaktadır. 7 yıl içersinde 2 deprem olma ihtimali nedir sorusuna şöyle cevap verilir. λ=3, x=2

14 yılda 3 den fazla deprem olma olasılığı: 7 yılda 3 deprem oluyorsa 14 yılda 6 deprem olacaktır.  1 – (3 ve 3 ten az ihtimallerin toplamı)