önce M. AKÇA tarafından yazılmıştır. Normal Dağılım Nedir?

Normal Dağılım Nedir?

istatistikteki en önemli konulardan biridir. Sürekli Dağılım türlerinden biridir ve pratikte bir çok durumda verilerin Normal Dağılım gösteren bir ana kütleden geldiği varsayılır. Bunun nedeni doğa ve insan davranışlarının genelinin Normal Dağılıma uygun olmasıdır. Örnek vermek gerekirse:

– İnsanların çoğu ortalama bir boya sahiptir. Ülkemizdeki erkekleri ele alacak olursak çok azı 1.90 üzeridir. Geneli 1.70-1.75 arasında bir boya sahiptir ve çok az kısmı da 1.65 den kısadır. Başka bir çalışmada yapılan değerlendirmede alttaki grafik elde edilmiştir. Bu grafiğe göre de insanların geneli ortalama boy aralığına sahip olup, çok az bir kısmı çok uzun boyludur ve çok az bir kısmı ise çok kısa boyludur.

kadın ve erkek boyları standart dağılımı

 

– Endüstri’de üretilen ürünlerin boy uzunluğu ve kilosu gibi özellikleri Normal Dağılıma uygun olacaktır. Örnek vermek gerekirse marketten bir kg un aldınız diyelim.

un

 

1 kg olarak üretilmeye çalışılan un, üretirken ağırlık ölçümü yapan makine’nin ayar hassasiyeti, zamanlama konusundaki hassasiyet azlığı, taşımalar sırasında oluşan kayıplar, üretim sürecindeki bir takım kayıplar gibi problemler nedeniyle hiç bir zaman 1 Kg olmayacaktır.

normal dağılım

Kimi zaman ortalamadan fazla kimi zaman az olacaktır. Bu nedenle bu tip ürünlere 1000 gr +-5gr gibi ibareler eklenmektedir. Dağılım bir üstteki dağılım grafiğindeki gibi olacaktır.

 

– Poligon atışlarında insanların büyük bir kısmı hedefin ortalarını vurur diğer atışları sağa ya da sola kayar. Toprak bir zemine yapılan atışlarda ortada oluşan çukur bize standart dağılımı hatırlatabilir.

normal dağılım poligon

 

Pratikte çoğu zaman verilerin Normal Dağılıma uyması durumu aslında Merkezi Limit Teoremi‘nden kaynaklanır. “Merkezsel limit teoremine göre birçok birbirinden bağımsız ve hepsi aynı dağılım gösteren rassal değişkenlerin toplamı limitte bir normal dağılıma göre eğilim gösterirler.Eğer bu varsayim geçerli ise, değerler yaklaşık %68,27 olasılıkla ortalamadan eksi ve artı bir standart sapma noktalarının arasında bulunur; ortalamadan artı ve eksi 2 standart sapma noktaları arasında %95,45 olasılıkla ve ortalamadan artı ve eksi 3 standart sapma noktaları arasında %99,73 olasılıkla bulunur. Bu 68-95-99.7 kuralı veya bir emprik kural olarak bilinir.” *

Yine de bu dağılıma “Normal Dağılım” denmesini uygun görmeyen kişiler vardır. Bu insanlara göre pratikte her durum Normal Dağılım’a uymayacağı için bu terimi kullanmak sakıncalıdır.

Formüle Edilişi

Bu dağılımı çeşitli matematiksel ifadelerle karakterize etmek mümkün olmakla birlikte Gauss Tipi Normal Dağılım fonksiyonu şu şekildedir.


gauss tipi normal dağılım fonksiyonu

Standart normal dağılım μ = 0 ve σ = 1 parametreleri olan bir normal dağılımdır. Aynı formül ile gösterilecek olursa Standart Normal Dağılım formülü şu şekilde olacaktır:

standart normal dağılım yoğunluk fonksiyonu

 

Standart Dağılım Tablosu

Birikimli Standart Normal Dağılım formülü kullanılarak elde edilir. Ve pratikte formülü kullanmadan işlem yapmak amacı ile kullanılır.  Z tablosu olarak da bilinir. Özellikle Hipotez testlerinde red-kabül işlemlerinde sıklıkla bu tablodan yararlanılır.

standart normal dagilim(z negatif)

Standart Normal Dağılım Güven Aralıkları

Standart Normal Dağılımın Ortalamadan sapmalarını incelersek şöyle bir tablo ile karşılaşırız:

güven aralıkları

 

Bu tablo Standart Normal Dağılımın merkezinden yapılan sapmaların hangi değerlere tekabül ettiğini göstermektedir.

Standart Normal Dağılım Güven Aralıkları

 

Özellikle Endüstri’de ve Sağlık alanında son zamanların Altın Standardı haline gelen ürünlerde 0 hata, hizmette 0 hata prensibi bu tablodaki değerlere dayandırılmaktadır ve hatanın ölçüsü, hata ölçüm seviyeleri Standart Sapma miktarına göre değerlendirilmektedir.  Firmalar Kalite Politikalarında kendilerine  5 Sigma ile çalışıyoruz, 6 Sigma hedefliyoruz tarzı hedefler koymaktadır. Firmaların bu söyleminden 5 Sigma ile çalıştıkları ve ürettikleri ürünlerin %99.99999980268’inin hatasız olduğu fakat 6 sigma seviyesini yani ürün hatasızlık oranı olarak  %99.99999999974 seviyesini hedefledikleri anlaşılmaktadır.

*http://tr.wikipedia.org/wiki/Standart_sapma