önce M. AKÇA tarafından yazılmıştır. Sürekli Olasılık Dağılımları

Sürekli Olasılık Dağılımları

Bir önceki yazımda Kesikli Olasılık Dağılımları‘ndan bahsetmiştim. Bu yazımda da Sürekli Olasılık Dağılımları’ndan bahsedeceğim.

Bir rastgele değişken sayılamayacak kadar sınırsız sık bir şekilde değer alıyorsa, bu dağılıma Sürekli Olasılık Dağılımı denilmektedir. Bu değişkenlerin tek bir değeri alması imkanızdır. Ancak belirli aralıklarda değerler alabilir.

Örneğin bir insanın boyu asla tam 170 cm boyunda olamaz. Ancak 169,99999  ile 170,00001 aralığında bir değer alabilir ve bu aralıkta bile sonsuz sayıda değer bulunduğu için asla noktasal bir tahminde bulunulamaz.

Eğri altında kalan alanın integrali alındığında x değişkeninin olasılığı P(x) bulunmaktadır.

Sürekli dağılımda eğrinin integrali olasılık değerini verir

Sürekli dağılımda eğrinin integrali olasılık değerini verir

Ayrıca olasılık dağılımı maksimum 1 olacağından:

surekli dağılım-1

 

Ayrıca varyans değeri şu şekilde hesaplanır:

varyans

Sürekli Olasılık Dağılımlar üçe ayrılır.

Uniform Dağılım: x random değişkeninin alabileceği değer aralığı (a,b) olsun. Eğer a ile b arasındaki tüm değerler aynı ihtimalde değer alıyorsa, bu dağılıma uniform dağılım denir. x in olasılık fonksiyonu da bu durumda

x=1/(b-a) olur.

Ortalaması ise (a+b)/2 olur

Varyans = (b-a)*(b-a)/12 dir

uniformdagilim

P(1<x<4) Olasılığının Hesaplanması

P(x) olasılığı 3*0,2= 0,6 ‘dır.

Normal Olasılık Dağılım:  Günlük hayatta ve endüstride en çok normal dağılım ile karşılaşılır. x sürekli rastgele değişkeni normal dağılım altında her -sonsuzdan +sonsuza her türlü değeri alabilir.

Olasılık fonksiyonu şu şekildedir:

normaldagilim

 

Simetrik bir fonksiyondur. Normal dağılımda ortalama 0 standart sapma ise 1 olduğunda bu dağılıma Standart Normal dağılım denmektedir. Standart normal dağılım hesaplamalarında x rastgele değişkeni bir fonksiyondan geçirilerek Z fonksiyonu haline getirilir ve işlemler bu Z fonksiyonu üzerinden yapılmaktadır.

z=(x-μ)/σ

Z değişkeni X değişkeninden ortalama çıkarıldıktan sonra standart sapmaya bölünmüş halidir. Bu fonksiyon sayesinde alttaki grafik elde edilmektedir.

Ekran Resmi 2014-11-26 23.30.31

Standart normal dağılımda her iki parça simetrik ve eşit olduğundan parçaların altında kalan alanlar 0,5 e 0,5 şeklinde ayrılmıştır.

Ortalamadan negatif ve pozitif yönlerde standart sapma kadar uzaklaşıldığında bu alan %68’e eşittir.

Ortalamadan negatif ve pozitif yönlerde 2 x standart sapma kadar uzaklaşıldığında bu alan %95’e eşittir.

Ortalamadan negatif ve pozitif yönlerde 3 x standart sapma kadar uzaklaşıldığında bu alan %99.7’ye eşittir.

X rastgele değişkeni Z standart normal dağılım değişkenine dönüştükten sonra artık Z tablosu kullanılabilir. Bu tablo altta verilmiştir.

Tabloda dikey halde yazılmış ve 0.0’dan 3.0’a kadar devam eden değer ilk ondalık kısmı gösterir. Birinci satırda yatayda yer alan .00’dan başlayarak .09’a kadar devam eden kısım ise ikinci ondalık kısmıdır. Dikeyde 1.4 yatayda 0,02 alanlarının kesişimi 1.42 yi temsil etektedir ve o alanda yer alan değer 0,4222 lik bir alana tekabul etmektedir.

Standart Normal dağılımda σ değeri 1’e eşit olduğu için Z tablosundaki 3.0 değeri de normal dağılım ortalamasından (μ),  3σ uzaktaki değerin olasılıksal değerini ifade etmektedir.  (μ) + 3σ

Exponent (Üssel) Dağılım: Bu dağılımın bir çok özelliği uniform dağılıma benzer.

Dağılımın tek parametresi µ olup, dağılımın ortalamasıdır (beklenen değeri).

Üstel Dağılım Fonksiyonu

Üstel Dağılım Fonksiyonu

Dağılımın fonksiyonu yukardaki gibidir. Bu dağılım özellikle bir ürünün ömrü, hizmet süresi gibi tamaiyle rassal gelişen olaylarda kullanılır. Bir ürünün ortalama ömrü 3 yıl ise,   4.yıldan sonra bozulma ihtimali gibi durumlarla ilgilenir.